Materi Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Matematika
& Sains
Geometri Euclides pada bidang, selanjutnya kiita sebut sebagai geometri
Euclides. Adalah geometri yang secara khusus bekerja hanya pada bidang.
Titik Garis Segmen Garis dan sinar Suatu bidang yang padanya diberlakukan
geometri Euclides adalah sebuah himpunan yang unsur-unsur tak
terdefinisikannya dinamakan titik.
Inilah bidang Euclides, apabila pada himpunan titik-titik ini kita
berlakukan suatu struktur geometri yang terbagi atas unsur-unsur tak
terdefinisi macam-macam aksioma definisi-definisi dan teorema-teorema.
Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsur dan relasi yang
ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda
abstrak yang menjadi unsur dasar geometri. Berdasarkan unsur-unsur inilah,
didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada
pengertian-pengertian baru sebelumnya.
Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama
yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan
posulat. Aksioma adalah suatu pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa
melalui pembuktian.berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan
sifat-sifat yang disebut dengan dalil. Dalil tersebut dapat juga dibentuk
berdasarkan dalil sebelumnya. Dalil merupakan sebuah pernyataan yang
kebenarannya dapat diterima melalui serangkaian pembuktian.
Simbol atau lambang merupakan alat bantu yang mengandung suatu pengertian.
Suatu lambang tertentu digunakan untuk menyatakan hal tertentu sedangkan
suatu hal tertentu dapat juga disimbolkan dengan bermacam-macam lambang.
Seperti titik dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C dan
seterusnya, garis dilambangkan dengan huruf kecil misalnya garis k, l, atau
dapat juga dilambangkan dengan gabungan dua titik seperti AB (dibaca:
garis ), dan lambang-lambang yang lain seperti yang menunjukkan segmen
AB.
Euclid dengan buku Elemen-nya adalah hasil karya klasik matematika dari
jaman purbakala yang paling terkenal, dan juga menjadi buku teks matematika
tertua yang selalu digunakan dunia. Sedikit yang bisa diketahui tentang
Euclid, kecuali fakta bahwa dia hidup di Alexandria sekitar tahun 300 SM.
Pokok persoalan utama dari karyanya adalah geometri, perbandingan dan teori
bilangan.
Telah diperlihatkan bahwa bukti geometrik dengan cara menggambarkan
kesimpulan melalui diagram untuk saat ini dianggap tidak memuaskan. Bukti
tersebut tidak memenuhi standar sekarang. Di lain pihak, Euclid, yang
merupakan ahli logika ternama, bergantung sepenuhnya pada pembuktian
menggunakan gambar.
Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah
kontroversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut : Jika dua garis
dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut
interiornya (sudut dalam) pada sisi transversal adalah kurang dari 180o,
garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut.
Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran
pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan
mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting
dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan
tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide
dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern dan juga perlakuan
yang cukup sesuai dengan hasil kerjanya yang sekarang, sehingga banyak
dipakai di berbagai buku ajar.
GEOMETRI EUCLID
Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti
Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Meskipun semasa hidupnya
tokoh-tokoh seperti Napoleon, Martin Luther, Alexander yang Agung, jauh
lebih terkenal ketimbang Euclid tetapi dalam jangka panjang ketenarannya
mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu.
Selain kemasyhurannya, hampir tak ada keterangan terperinci mengenai
kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia pernah aktif
sebagai guru di Alexandria, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia
lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di
benua apa dan dikota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan
diantaranya masih ada yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama
terletak pada bukunya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The
Elements.
Kebanyakan teorema yang disajikan dalam buku The Elements tidak ditemukan
sendiri oleh Euclid, tetapi merupakan hasil karya matematikawan Yunani awal
seperti Pythagoras (dan para pengikutnya), Hippocrates dari Chios,
Theaetetus dari Athena, dan Eudoxus dari Cnidos. Akan tetapi, secara umum
Euclid dihargai karena telah menyusun teorema-teorema ini secara logis, agar
dapat ditunjukkan (tak dapat disangkal, tidak selalu dengan bukti teliti
seperti yang dituntut matematika modern) bahwa cukup mengikuti lima aksioma
sederhana.
Euclid juga dihargai karena memikirkan sejumlah pembuktian jenius dari
teorema-teorema yang telah ditemukan sebelumnya, misalnya Teorema 48 di Buku
I.
Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus
pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu
sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan
kebenarannya.
Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan
permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan
penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan
dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan
menarik garis lurus diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan
hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah difahami oleh orang-orang
sesudahnya. Bilamana perlu, dia menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal
yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap
permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain
terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di
samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori
penjumlahan.
Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun
dan tak syak lagi merupakan buku yang paling sukses yang pernah disusun
manusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya
saja sudah mampu menyisihkan semua buku yang pernah dibuat orang sebelumnya
dan yang tak pernah digubris lagi. Aslinya ditulis dalam bahasa Yunani,
kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa.
Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan mesin
cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah
dalam beribu-ribu edisi yang beragam corak.
Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih
berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu
merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus
merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia.
Adalah adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor penting
bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar
kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedar
generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu
pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris
dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan
kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak.
Kita masih bertanya-tanya apa sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan
bukan di Cina, tetapi rasanya aman jika kita menganggap bahwa hal itu
bukanlah semata-mata lantaran soal kebetulan. Memanglah, peranan yang
digerakkan oleh orang-orang brilian seperti Newton, Galileo dan Copernicus
mempunyai makna yang teramat penting. Tetapi, tentu ada sebab-musababnya
mengapa orang-orang ini muncul di Eropa. Mungkin sekali faktor historis yang
paling menonjol apa sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan
adalah rasionalisme Yunani, bersamaan dengan pengetahuan matematika yang
diwariskan oleh Yunani kepada Eropa.
Patut kiranya dicatat bahwa Cina meskipun berabad-abad lamanya teknologinya
jauh lebih maju ketimbang Eropa–tak pernah memiliki struktur matematika
teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang matematikus
Cina pun yang punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina menguasai
pengetahuan yang bagus tentang ilmu geometri praktis, tetapi pengetahuan
geometri mereka tak pernah dirumuskan dalam suatu skema yang mengandung
kesimpulan.
Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa ada beberapa dasar prinsip-prinsip
fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal yang wajar karena
mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada umumnya
orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah sistem
abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid --dan dengan
sendirinya teori euclid-- memang benar-benar merupakan kenyataan yang
sesungguhnya.
Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak
Newton menulis buku tersohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian,
mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan
Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara
logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh
ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza.
Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid, bukan
satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta
yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun
terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan a la Euclid.
Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan
menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan
masalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar "Lubang hitam"
dan bintang neutron --misalnya-- dimana gaya berat berada dalam derajat
tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia,
ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa
secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak
hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati
kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi
baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya
dalam sejarah.
The Elements terdiri atas tiga belas buku. Buku 1 menguraikan
proposisi-proposisi dasar dari geometri bidang datar, termasuk tiga kasus
dalam hal kekongruenan segitiga, macam-macam teorema tentang garis-garis
sejajar, teorema mengenai jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga dan
teorema Pythagoras. Buku 2 berkenaan dengan aljabar geometris, karena
kebanyakan teoremanya tidak lebih tentang penafsiran aljabar sederhana. Buku
3 menyelidiki lingkaran dan sifat-sifatnya, dan termasuk teorema tentang
tangent dan sudut-sudut yang digambarkan. Buku 4 terkait segibanyak
beraturan dan lingkaran-lingkaran yang mengelilinginya. Buku 5 mengembangkan
teori aritmetika tentang perbandingan. Buku 6 menerapkan teori perbandingan
kepada geometri bidang datar, dan memuat teorema-teorema bilangan kembar.
Buku 7 menguraikan teori bilangan dasar: misalnya bilangan prima, faktor
persekutuan terbesar, dan lain-lain. Buku 8 terkait dengan deret geometri.
Buku 9 memuat macam-macam aplikasi dari hasil dua buku sebelumnya, dan
memuat teorema-teorema ketakterhinggaan bilangan prima, maupun rumus jumlah
deret geometri. Buku 10 berusaha menggolongkan besaran yang tak dapat
dibandingkan (dengan kata lain irasional) menggunakan apa yang disebut
“metode keletihan”, suatu rintisan integral kuno. Buku 11 menghitung volume
relatif dari kerucut, piramida, tabung, dan bola menggunakan metode
keletihan. Dan akhirnya, buku 13 meneliti apa yang biasa disebut lima benda
padat platonis.